Mixed Hodge structures and formality of symmetric monoidal functors

Abstract

We use mixed Hodge theory to show that the functor of singular chains with rational coefficients is formal as a lax symmetric monoidal functor, when restricted to complex varieties whose weight filtration in cohomology satisfies a certain purity property. This has direct applications to the formality of operads or, more generally, of algebraic structures encoded by a colored operad. We also prove a dual statement, with applications to formality in the context of rational homotopy theory. In the general case of complex varieties with non-pure weight filtration, we relate the singular chains functor to a functor defined via the first term of the weight spectral sequence. Résumé. Nous utilisons la théorie de Hodge mixte pour montrer que le foncteur des chaînes singulières à coefficients rationnels est formel, comme foncteur symétrique monoïdal lax, lorsqu'on le restreint aux variétés complexes dont la filtration par le poids en cohomologie satisfait une certaine propriété de pureté. Ce résultat a des applications directes à la formalité d'opérades ou plus généralement à des structures algébriques encodées par une opérade colorée. Nous prouvons aussi le résultat dual, avec des applications à la formalité dans le contexte de la théorie de l'homotopie rationnelle. Dans le cas général d'une variété dont la filtration par le poids n'est pas pure, nous relions le foncteur des chaînes singulières à un foncteur défini par la première page de la suite spectrale des poids.