Free by free-abelian groups: isomorphisms and algorithmic questions

Abstract

Estudiem el problema de l’isomorfisme i el grup d’automorfismes dels grups lliure-per-lliure-abelià (FBFA), és a dir, grups de la forma $F_n \rtimes \mathbb{Z}^m$, generalitzant els grups lliure-per-cíclics. Analitzem la classe dels grups FBFA complets, per als quals el problema de l’isomorfisme admet una descripció explícita, i mostrem que els grups FBFA complets isomorfs tenen imatges conjugades de l’acció exterior induïda en $Out(F_n)$. Estudiem el subgrup d’automorfismes que preserven $F_n$, el qual coincideix amb el grup complet d’automorfismes en el cas complet. Finalment, en el cas $n = 2$, demostrem que dos grups FBFA són isomorfs si i només si les seves imatges exteriors induïdes són conjugades en $Out(F_2)$, i en deduïm que el problema de l’isomorfisme és decidible algorítmicament, així com el càlcul del grup d’automorfismes.

Estudiamos el problema del isomorfismo y el grupo de automorfismos de los grupos libre-por-libre-abeliano (FBFA), es decir, grupos de la forma $F_n \rtimes \mathbb{Z}^m$, generalizando los grupos libre-por-cíclicos. Analizamos la clase de los grupos FBFA completos, para los cuales el problema del isomorfismo admite una descripción explícita, y demostramos que los grupos FBFA completos isomorfos tienen imágenes conjugadas de la acción exterior inducida en $Out(F_n)$. Estudiamos el subgrupo de automorfismos que preservan $F_n$, el cual coincide con el grupo total de automorfismos en el caso completo. Finalmente, en el caso $n = 2$, demostramos que dos grupos FBFA son isomorfos si y solo si sus imágenes exteriores inducidas son conjugadas en $Out(F_2)$, deduciendo que el problema del isomorfismo es algorítmicamente decidible y calculando el grupo de automorfismos.

We study the isomorphism problem and the automorphism group of free-by-free-abelian (FBFA) groups, that is, groups of the form $F_n \rtimes \mathbb{Z}^m$, generalizing free-by-cyclic groups. We study the class of full FBFA groups, for which the isomorphism problem admits an explicit description, and show that isomorphic full FBFA groups have conjugate images of the induced outer action in $Out(F_n)$. We study the subgroup of automorphisms preserving $F_n$, which coincides with the full automorphism group in the full case. Finally, in the case $n=2$, we show that two FBFA groups are isomorphic if and only if their induced outer images are conjugate in $Out(F_2)$, deducing that the isomorphism problem is algorithmically decidable, and we compute the automorphism group.