Option valuation as an expectation in the complex domain: The Black-Scholes case

Abstract

It is very well known that the first succesful valuation of a stock option was done by solving a deterministic partial differential equation (PDE) of the parabolic type with some complementary conditions specific for the option. In this approach, the randomness in the option value process is eliminated through a no-arbitrage argument. An alternative approach is to construct a replicating portfolio for the option. From this viewpoint the payoff function for the option is a random process which, under a new probabilistic measure, turns out to be of a special type, a martingale. Accordingly, the value of the replicating portfolio (equivalently, of the option) is calculated as an expectation, with respect to this new measure, of the discounted value of the payoff function. Since the expectation is, by definition, an integral, its calculation can be made simpler by resorting to powerful methods already available in the theory of analytic functions. In this paper we use precisely two of those techniques to find the well-known value of a European call

- La primera valoració, generalment acceptada, d'una opció sobre una acció es feu solucionant una equació diferencial, en derivades parcials, determinista, del tipus parabòlic introduint algunes condicions de contorn específiques de l'opció. En aquest plantejament, la aleatorietat inherent en la valoració de l'opció s'elimina introduint l'hipòtesi l'inexistència de possibilitats d'arbitratge. Un plantejament alternatiu és construir una cartera que repliqui els resultats de l'opció. Des d'aquest punt de vista la funció de pagament per l'opció es un procés aleatori que, sota una nova mesura de probabilitat, converteix el procés en una martingala. El valor de la cartera replicant, equivalent al valor de l'opció, es calcula com a esperança del valor descomptat dels pagaments, respecte aquesta nova mesura. Com que l'esperança matemàtica és, per definició, una integral, el seu càlcul es pot fer de forma més simple utilitzant mètodes procedents de la teoria de funcions analítiques.