A Note on Shapley's convex measure games

Abstract

L. S. Shapley, in his paper 'Cores of Convex Games', introduces Convex Measure Games, those that are induced by a convex function on R, acting over a measure on the coalitions. But in a note he states that if this function is a function of several variables, then convexity for the function does not imply convexity of the game or even superadditivity. We prove that if the function is directionally convex, the game is convex, and conversely, any convex game can be induced by a directionally convex function acting over measures on the coalitions, with as many measures as players

- L. S. Shapley introduce el concepto de Convex Measure Games en su artículo 'Cores of Convex games'. Se trata de los juegos inducidos por una función convexa definida sobre R, y que actúa sobre una medida en las coaliciones. Sin embargo, en una nota a pie de página señala que si esta función es una función de varias variables entonces la convexidad de la función no implica la convexidad del juego ni siquiera la superaditividad. Aquí se prueba que si la función es direccionalmente convexa, el juego es convexo, y que también cualquier juego convexo puede ser inducido por una función direccionalmente convexa que actúa sobre medidas sobre las coaliciones, con, como máximo, tantas medidas como jugadores