Comparative study of irreducible and mixed finite element formulations for nonlinear mechanics problems

Abstract

This thesis addresses the numerical performance of irreducible and mixed finite element formulations in linear and nonlinear constitutive models. The irreducible method, based only on displacements, is straightforward but suffers from volumetric locking and mesh dependency in damage problems. Mixed formulations improve accuracy by adding strain or stress variables, at the cost of higher computation. Two variants are examined: the displacement strain (u − ε) method, which introduces the full strain tensor, and the displacement-volumetric strain (u −εvol) method, which focuses on the volumetric strain. The formulations were tested in three benchmarks: the 2D cantilever beam and the 2D Cook’s membrane for linear elasticity, and the 2D Alvarez beam with a Continuum Damage Mechanics model for nonlinear material behavior. Simulations were carried out with quadrilateral and triangular meshes using Kratos Multiphysics and post-processed in GiD. Results show that the irreducible formulation underestimates displacements in nearly incompressible regimes and exhibits strong mesh dependency in fracture problems. The u − ε method proved the most robust, capturing both volumetric and shear effects and reproducing diagonal fracture band with reduced mesh sensitivity. The u−εvol method performed best in locking-dominated benchmarks but was less accurate in shear-driven damage. Quadrilateral meshes gave more reliable convergence, although mixed methods improved the performance of triangular ones. Overall, the study confirms that mixed formulations proved clear advantages in problems involving incompressibility and damage localization, with u − ε emerging as the most versicle and u−εvol as an efficient alternative in volumetric cases.

Aquesta tesi aborda el rendiment numèric de les formulacions irreduïda i mixtes d’elements finits en elasticitat lineal i en models constitutius no lineals. El mètode irreduït, basat únicament en desplaçaments, és senzill però pateix de bloqueig volumètric i dependència de la malla en problemes de dany. Les formulacions mixtes milloren la precisió en introduir variables addicionals de deformació o tensió, a costa d’un cost computacional més elevat. S’examinen dues variants: la formulació desplaçament-deformació (u − ε), que introdueix el tensor complet de deformacions, i la formulació desplaçament-deformació volumètrica (u −εvol), que es centra en la deformació volumètrica. Les formulacions s’han avaluat en tres problemes de referència: la biga en voladís 2D i la membrana de Cook 2D per a elasticitat lineal, i la biga d’Álvarez 2D amb un model de Mecànica del Dany Continu per al comportament no lineal del material. Les simulacions s’han realitzat amb malles quadrilàteres i triangulars en Kratos Multiphysics i s’han postprocessat en GiD. Els resultats mostren que la formulació irreduïda subestima els desplaçaments en règims gairebé incompressibles i presenta una forta dependència de la malla en els problemes de fractura. El mètode u − ε ha resultat ser el més robust, en captar tant els efectes volumètrics com els de tallant i reproduir bandes de fractura diagonals amb menor sensibilitat a la malla. El mètode u − εvol ofereix el millor rendiment en els casos dominats pel bloqueig, però és menys precís en danys controlats pel tallant. Les malles quadrilàteres proporcionen una convergència més f iable, encara que les formulacions mixtes han millorat el rendiment de les triangulars. En conjunt, l’estudi confirma que les formulacions mixtes ofereixen clars avantatges en problemes que involucren incompressibilitat i localització de dany, destacant u − ε com la més versàtil i u−εvol com una alternativa eficient en casos dominats per efectes volumètrics.

Esta tesis aborda el rendimiento numérico de las formulaciones irreducible y mixtas de elementos finitos en elasticidad lineal y en modelos constitutivos no lineales. El método irreducible, basado únicamente en desplazamientos, es sencillo pero sufre de bloqueo volumétrico y dependencia de la malla en problemas de daño. Las formulaciones mixtas mejoran la precisión al introducir variables adicionales de deformación o tensión, a costa de un mayor coste computacional. Se examinan dos variantes: la formulación desplazamiento-deformación (u − ε), que introduce el tensor completo de deformaciones, y la formulación desplazamiento-deformación volumétrica (u − εvol), que se centra en la deformación volumétrica. Las formulaciones se han evaluado en tres problemas de referencia: la viga en voladizo 2D y la membrana de Cook 2D para elasticidad lineal, y la viga de Álvarez 2D con un modelo de Mecánica del Daño Continuo para el comportamiento no lineal del material. Las simulaciones se han realizado con mallas cuadriláteras y triangulares en Kratos Multiphysics y se han postprocesado en GiD. Los resultados muestran que la formulación irreducible subestima los desplazamientos en regímenes casi incompresibles y presenta una fuerte dependencia de la malla en los problemas de fractura. El método u − ε ha resultado ser el más robusto, al captar tanto los efectos volumétricos como los cortantes y reproducir bandas de fractura diagonales con menor sensibilidad a la malla. El método u − εvol ofrece el mejor rendimiento en los casos dominados por bloqueo, pero es menos preciso en daños controlados por cortante. Las mallas cuadriláteras proporfionan una convergencia más fiable, aunque las formulaciones mixtas han mejorado el rendimiento de las triangulares. En conjunto, el estudio confirma que las formulaciones mixtas ofrecen claras ventajas en problemas que involucran incompresibilidad y localización de daño, destacando u − ε como la más versátil y u−εvol como una alternativa eficiente en casos dominados por efectos volumétricos.