Uncertainty principle and signal processing

Abstract

El principi d'incertesa clàssic ha estat sempre conegut per les seves aplicacions en mecànica quàntica, on mostra que la posició i el moment d'una partícula no poden ser determinats simultàniament. Aquest principi pot generalitzar-se i aplicar-se en l'àmbit de la recuperació de senyals. Aquest treball presenta la teoria necessària de l’anàlisi de Fourier en grups abelians, essencial per comprendre l'aplicació del principi d'incertesa en la recuperació de senyals. També examinem diferents versions del principi d'incertesa, així com explorem les versions en temps continu i temps discret, i en discutim la seva vivesa. Finalment, presentem enfocaments algorísmics per a la recuperació de senyals. L’objectiu d’aquest treball és presentar una teoria per entendre com recuperar un senyal davant una pèrdua significativa d'informació, i explorar extensions d'aquest camp.

El principio de incertidumbre clásico siempre ha sido conocido por sus aplicaciones en mecánica cuántica, donde muestra que la posición y el momento de una partícula no pueden determinarse simultáneamente. Este principio puede generalizarse y aplicarse en el ámbito de la recuperación de señales. Este trabajo presenta la teoría necesaria del análisis de Fourier en grupos abelianos, esencial para comprender la aplicación del principio de incertidumbre en la recuperación de señales. También examinamos diferentes versiones del principio de incertidumbre, así como exploramos las versiones en tiempo continuo y tiempo discreto, y discutimos su nitidez. Finalmente, presentamos enfoques algorítmicos para la recuperación de señales. El objetivo de este trabajo es presentar una teoría para entender cómo recuperar una señal ante una pérdida significativa de información, y explorar extensiones de este campo.

The classical Uncertainty Principle has always been known for its applications in quantum mechanics where it shows that a particle's position and momentum cannot be simultaneously determined. This principle can be generalized and it can be applied in the area of signal recovery. This work presents the necessary theory of Fourier Analysis on Abelian Groups which is essential for understanding the application of the Uncertainty Principle on signal recovery. We also examine different versions of the Uncertainty Principle as well as we explore the continuous-time and the discrete-time versions and discuss their sharpness. Finally, we present algorithmic approaches to signal recovery. The goal of this work is to present a theory for understanding how to recover a signal due to significant loss of information, and to explore extensions of this field.