Estudi de la hipòtesi de Riemann: nombres primers i aplicacions

Abstract

En aquest treball s’estudia la hipòtesi de Riemann, un problema matemàtic relacionat amb la distribució dels nombres primers i que no ha estat resolt des que el 1859, Bernhard Riemann, un matemàtic alemany, l’anuncià en una memòria escrita de menys de 10 pàgines. Aquesta hipòtesi forma part del selecte grup dels Problemes del mil·lenni, i s’ofereixen 1.000.000 de dòlars a qui pugui verificar-la o negar-la. En aquest treball es pretén arribar a comprendre com fou plantejada la hipòtesi i en quines circumstàncies, per això s’estudien treballs d’altres matemàtics com ara Gauss o Euler, ja que les seves publicacions contribuïren a què Riemann finalment formulés la famosa hipòtesi, i foren molt importants, ja que sense les aportacions de diversos matemàtics a aquesta ciència, probablement no s’hauria pogut formular la hipòtesi. Moltíssims matemàtics al llarg de la història han intentat trobar una fórmula màgica que generi tots els nombres primers, o vàries fórmules que entre elles els cobreixin tots, però donat que això no fou possible, Gauss començà estudiant la distribució dels nombres primers, doncs no aconseguia trobar-hi un sentit complet, i a partir d’aquí definí una funció que comptaria els nombres primers, i la representació gràfica d’aquesta seria com una escala infinita. A partir d’aquí, molts matemàtics intentaren trobar una funció que seguís per complet el comportament de la funció 𝜋�(𝑥�) que definí Gauss, i a partir d’estudis diversos d’altres matemàtics, hi acabaren intervenint els nombres complexos. A partir d’aquí s’obrí un nou camí que il·luminaria esperances perdudes als matemàtics que ja havien perdut l’esperança respecte la distribució dels nombres primers. Les relacions que Riemann feu amb els matemàtics que intervindran en aquesta història foren clau, doncs tot plegat resulta irònicament com una recepta d’ingredients aparentment independents que entrellaçats donen lloc a un plat deliciós Per a poder realitzar aquest treball s’ha seguit l’article de Don Zagier, The first 50 million prime numbers. També s’ha seguit el llibre de Marcus Du Sautoy, La música de los números primos, títol que sorgeix gràcies a la relació d’aquesta hipòtesi amb la sèrie harmònica, i altres articles que també tracten la hipòtesi de Riemann. S’ha emprat l’eina Maple per a poder representar gràficament les funcions que hi intervenen i poder realitzar càlculs complicats.