Mètodes algebraics i de teoria de la prova per a la formalització del raonament vague

Abstract

Projecte de recerca elaborat a partir d’una estada a la Università degli studi di Siena, Italy , entre 2007 i 2009. El projecte ha consistit en un estudi de la formalització lògica del raonament en presència de vaguetat amb els mètodes de la Lògica Algebraica i de la Teoria de la Prova. S'ha treballat fonamental en quatre direccions complementàries. En primer lloc, s'ha proposat un nou plantejament, més abstracte que el paradigma dominant fins ara, per l'estudi dels sistemes de lògica borrosa. Fins ara en l'estudi d'aquests sistemes l'atenció havia recaigut essencialment en l'obtenció de semàntiques basades en tnormes contínues (o almenys contínues per l'esquerra). En primer nivell de major abstracció hem estudiat les propietats de completesa de les lògiques borroses (tant proposicionals com de primer ordre) respecte de semàntiques definides sobre qualsevol cadena de valors de veritat, no necessàriament només sobre l'interval unitat dels nombres reals. A continuació, en un nivell encara més abstracte, s’ha pres l'anomenada jerarquia de Leibniz de la Lògica Algebraica Abstracta que classifica tots els sistemes lògics amb un bon comportament algebraic i s'ha expandit a una nova jerarquia (que anomenem implicacional) que permet definir noves classes de lògiques borroses que contenen quasi totes les conegudes fins ara. En segon lloc, s’ha continuat una línia d'investigació iniciada els darrers anys consistent en l'estudi de la veritat parcial com a noció sintàctica (és a dir, com a constants de veritat explícites en els sistemes de prova de les lògiques borroses). Per primer cop, s’ha considerat la semàntica racional per les lògiques proposicionals i la semàntica real i racional per les lògiques de primer ordre expandides amb constants. En tercer lloc, s’ha tractat el problema més fonamental del significat i la utilitat de les lògiques borroses com a modelitzadores de (part de) els fenòmens de la vaguetat en un darrer article de caràcter més filosòfic i divulgatiu, i en un altre més tècnic en què defensem la necessitat i presentem l'estat de l'art de l'estudi de les estructures algèbriques associades a les lògiques borroses. Finalment, s’ha dedicat la darrera part del projecte a l'estudi de la complexitat aritmètica de les lògiques borroses de primer ordre.

Report for the scientific sojourn at the Unversita degli Studi di Siena, Italy, from 2007 to 2009. The project has consisted in a study of the logical formalization of the reasoning with vagueness by using the methods of Algebraic Logic and Proof Theory. We have worked essentialy on four complementary directions. First, a new approach, more abstract than the current paradigm in the literature, has been proposed. So far, the main issue in the study of fuzzy logic systems has been the completeness with respect to a semantics based on continuous (or at least, leftcontinuous) tnorms. Now, in a first step to a greater generality, we have studied completeness properties of fuzzy logics with respect to semantics defined over any kind of chain of truthvalues, non necessarily over the real unit interval. Then, moving towards a level of higher abstraction, we have taken the so called Leibniz hierarchy from Abstract Algebraic Logic that classifies all logical systems with a good algebraic behavior, and we have expanded it to a new hierarchy (which we call implicational hierarchy) which allows to define new classes of fuzzy logics that contain almost all the systems known so far. Second, we have further developed a line of research started in the last years which consists in the study of partial truth as a syntactical notion (i.e. by means a truthconstants which are explictly introduced in the proof systems for fuzzy logics). For the first time we have considered the rational semantics for propositional logics and the real and rational semantics for firstorder predicate logics expanded with truthconstants. Third, we have dealt with the more fundamental problem of the meaning and usefulness of fuzzy logics as a tool for modelling (part of) the vagueness phenomena in a philosophical and divulgative paper and another one, more technical where we defend the necessity and present the state of the art in the study of the algebraic structures arising from fuzzy logics. Finally, we have devoted the last part of the project to the study of the arithmetical complexity of firstorder fuzzy logics. These lines of research have resulted into 9 journal papers and 10 contributions presented in international conferences.