Los grafos distancia-regulares aparecen a menudo en el estudio de es- tructuras matemáticas con un alto grado de simetría y/o regularidad. Un ejemplo bien conocido de tales grafos son los esqueletos de los sólidos platónicos. Desde que fueron propuestos por Norman Biggs, los grafos distancia-regulares han sido caracterizados por numerosos resultados, tanto de carácter combinatorio como algebraico. Como ejemplo del primer caso, sabemos que un grafo es distancia-regular si, y sólo si, el número de caminos de una longitud dada entre dos vértices sólo depende de la distancia entre dichos vértices. En esta charla se van a presentar y comparar las diferentes caracterizaciones conocidas, tanto las más clásicas como las que han sido recientemente descubiertas por el conferenciante y algunos de sus colaboradores. Entre las últimas, cabe destacar el que ya es conocido en la literatura com el `teorema del exceso espectral’. Este resultado puede considerarse como una caracterización casi-espectral, y afirma que un grafo es distancia-regular si, y sólo si, su exceso espectral (una cantidad calculable a partir de su matriz de adyacencia) es igual a su exceso medio (el número medio de vértices a distancia máxima de cada vértice).

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