Abstract:
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Consideramos la siguiente familia de campos X en R3 :
dx
dt = − xz − y( + c z) + p+1f( x, y, z, )
dy
dt = − yz + x( + c z) + p+1g( x, y, z, )
dz
dt = (−1 + b(x2 + y2) + z2) + p+1h( x, y, z, )
(1)
donde f, g y h son funciones reales anal´ıticas, de orden mayor o igual que 3; , b y
c son constantes y > 0 es un par´ametro peque˜no. Cuando = 0, X0 es la singularidad
llamada Hopf-Zero. De hecho considerando ˜Xμ un desplegamiento universal
anal´ıtico de esta singularidad, y realizando su forma normal hasta t´erminos de orden
2 obtenemos, despu´es de un escalado de las variables de orden = √μ, la familia
(1) considerada (ver [BV84]) con p = −2. Cuando f = g = h = 0 observamos que
el sistema tiene una ´orbita heterocl´ınica entre los puntos cr´ıticos (0, 0,±1) la cual
est´a dada por: {(0, 0, z) : −1 < z < 1}. El objetivo de este trabajo es ver que esta
´orbita heterocl´ınica se rompe si (f, g, h) 6= 0 y calcular la distancia entre las variedades
invariantes unidimensionales correspondientes. Para el caso en que p > −2 (ver
[BV84]) esta distancia sobre el plano z = 0 esta dada por:
ds,u = 2 ec /2| ˆm(i )| pe− | |/(2 )(1 + O( p+2| log( )|)), (2)
donde ˆm es la transformada de Borel de la funci´on m(u) = u1+ic(f + ig)(0, 0, u, 0).
Nuestro estudio trata de establecer el valor de la distancia para el caso p = −2. Para
este caso hemos desarrollado algoritmos que utilizan c´alculos con multiprecisi´on
debido a que, cuando el par´ametro es peque˜no, ambas variedades se aproximan exponencialmente.
Nuestro objetivo fundamental es verificar la f´ormula (2) para p > 2 y
obtener una f´ormula v´alida para p = −2. |