2026-04-14T06:36:47Zhttps://recercat.cat/oai/request

oai:recercat.cat:2117/3941122025-07-22T16:37:37Zcom_2072_1033col_2072_452951

Modern harmonic analysis: singular integrals, maximal functions and Littlewood-Paley theory Ramis Vich, Bernat Universitat Politècnica de Catalunya. Departament de Matemàtiques University of Edinburgh Wright, James Mas Blesa, Albert Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística Integrals Integrals singulars Calderón−Zygmund funció maximal Littlewood−Paley Integrals Classificació AMS::43 Abstract harmonic analysis S’estudien les eines desenvolupades en la dècada de 1950 per Calderón i Zygmund, les quals varen portar al naixement de l’anàlisi harmònica moderna. Alguns d’aquests conceptes són la funció maximal de Hardy-Littlewood juntament amb les seves propietats d’acotació en espais Lp, teoremes d’interpolació i, sobretot, la descomposició de Calderón i Zygmund. Aquestes tècniques ens permeten demostrar que algunes integrals singulars estan ben definides i fitades en els espais Lp. Tot i que l’espai euclidià fos el context original on totes aquestes idees es varen desenvolupar, un objectiu principal del projecte és entendre com aquestes propietats es generalitzen a altres espais mètrics de mesura i a integrals singulars de valors vectorials. Tot i ser potent, la teoria clàssica de Calderón-Zygmund té les seves limitacions. Per exemple, l’operador maximal esfèric introduït per Stein en la dècada de 1970 cau fora de l’abast de la teoria original. Tot i així, un pot utilitzar la teoria de Littlewood-Paley via desigualtats de square functions per demostrar desigualtats òptimes per l’operador maximal esfèric. Per contra, hi ha fites en els extrems del rang de valors dels exponents p per a operadors integrals singulars i maximals que romanen com a problemes oberts. Se estudian las herramientas desarrolladas en la década de 1950 por Calderón y Zygmund, las cuales llevaron al nacimiento del análisis armónico moderno. Algunos de estos conceptos son la función maximal de Hardy-Littlewood junto con sus propiedades de acotación en espacios Lp, teoremas de interpolación y, sobre todo, la descomposición de Calderón y Zygmund. Estas técnicas nos permiten demostrar que algunas integrales singulares están bien definidas y acotadas en los espacios Lp. Aunque el espacio euclídeo sea el contexto original donde todas estas ideas fueron desarrolladas, un objetivo principal del proyecto es entender cómo estas propiedades se generalizan a otros espacios métricos de medida y a integrales singulares con valores vectoriales. A pesar de ser potente, la teoría clásica de Calderón-Zygmund tiene sus limitaciones. Por ejemplo, el operador maximal esférico introducido por Stein en la década de 1970 cae fuera del alcance de la teoría original. Sin embargo, uno puede utilizar la teoría de Littlewood-Paley via desigualdades de square functions para demostrar desigualdades óptimas para el operador maximal esférico. Aun así, hay cotas en los extremos del rango de valores de los exponentes p para operadores integrales singulares y maximales similares que permanecen como problemas abiertos. The tools developed in the 1950s by Calderón and Zygmund, which led to the birth of modern harmonic analysis, are studied. Some of these concepts are the Hardy-Littlewood maximal function together with its Lp estimates, interpolation theorems and, foremost, the Calderón-Zygmund decomposition. These techniques allow us to show that some singular integrals are well defined and bounded on Lp spaces. Although Euclidean space is the original setting where these ideas were developed, a main aim of the project is to understand how these estimates generalise to other measure metric spaces and to vector-valued singular integrals. Despite being powerful, classical Calderón-Zygmund theory has its limitations. For example, the spherical maximal operator introduced by Stein in the 1970’s falls outside the scope of the original theory. However, one can utilise Littlewood-Paley theory via square function estimates to prove optimal estimates for the spherical maximal operator. Nevertheless, endpoint bounds for similar singular integral and maximal operators remain as open problems. Outgoing 2023-05-30 Bachelor thesis https://hdl.handle.net/2117/394112 PRISMA-173806 eng http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Open Access Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 International application/pdf Universitat Politècnica de Catalunya