Projecte de recerca elaborat a partir d’una estada al Department de Matemàtica Aplicada de la Montanuniversität Leoben, Àustria, entre agost i desembre del 2006. L’ objectiu ha estat fer recerca sobre digrafs infinits amb dos finals, connexos i localment finits, i, en particular, en digrafs amb dos finals i altament arc-transitius. Malnic, Marusic et al. van introduir un nou tipus de relació d’equivalència en els vèrtexs d’un dígraf, anomenades relacions d’assolibilitat, que generalitzen i tenen el seu origen en un problema posat per Cameron et al., on les classes de la relació d’equivalència eren vèrtexs que pertanyien a un camí alternat del dígraf . Malnic et al. en el mencionat article van establir connexions ben estretes entre aquestes relacions d’assolibilitat i l'estructura de finals i creixement dels digrafs localment finits i transitius. En aquest treball, s’ha caracteritzat per complet aquestes relacions d’assolibitat en el cas de dígrafs localment finits i transitius amb exactament dos finals, en termes de la descomposició en números primers del número de línies que genera el digraf amb dos finals. A més, es nega la Conjectura 1 sostinguda per Seifter que afirmava que un digraf connex localment finit amb més d’un final era necessàriament o be 0-, 1- o altament arc-transitiu. Seifer havia donat una solució parcial a la conjectura pel cas de digrafs regulars amb grau primer que tinguin un conjunt de tall connex. En aquest treball, es descriu una família infinita de dígrafs regulars de grau dos, amb dos finals, exactament 2-arc transitius i no 3-arc transitius. Així, es nega la Conjectura de Seifter en el cas general, fins i tot per grau primer. Tot i així, la solució parcial donada per Seifter en el seu article és en cert sentit la millor possible i l'existència un conjunt de tall connex essencial.

Report for the scientific sojourn at the Department of Applied Mathematics in the Montanuniversität Leoben, Austria, from August until Desember 2006.The goal was to investigate in detail locally finite transitive (connected) two-ended digraphs, and in particular, highly arc transitive two-ended digraphs. Malnic, Marusic et al. introduced a new kind of equivalence relations of vertices in a digraph, called reachability relations, that generalises and originates from a problem posed by Cameron et al. where the class of the equivalence relation were edges contained in some alternating walk of the digraph. Malnic et al. Had established close connections between properties of reachibility relations and the end structure and growth properties of locally finite transitive digraphs. In the present work, it is completely characterised reachibility relations for locally finite transitive two-ended digraphs in terms of the decomposition into prime numbers of the number of lines that spanned the two-ended digraph. Moreover, it is disclaimed in this work Conjecture 1 posed by Seifter that stated that a connected locally finite digraph with more than one end was either 0-, 1- or highly arc transitive. In the above mentioned work the author gave a partial solution to the conjecture, for regular digraphs of prime degree with a connected D-cut. In this work, we describe an infinite family of 2-arc transitive two-ended digraphs, not 3-arc transitive, of degree 2. Thus, we disprove Seifter's Conjecture in the general case, even for prime degree. Nonetheless, the partial solution given by Seifter in is in some sense best possible and hence the existence of a connected D-cut in the digraph essential.