Estas notas corresponden a las exposiciones presentadas en el \emph{Primer Seminario de Integrabilidad}, dentro de lo que se denomina \emph{Aula de Sistemas Din\'amicos}. Durante este evento se realizaron seis conferencias, todas presentadas por miembros del grupo de Sistemas Din\'amicos de la UPC. El programa desarrollado fue el siguiente:\\ \begin{center} AULA DE SISTEMAS DIN\'AMICOS \end{center} \begin{center} \texttt{http://www.ma1.upc.es/recerca/seminaris/aulasd-cat.html} \end{center} \begin{center} SEMINARIO DE INTEGRABILIDAD \end{center} \begin{center} Martes 29 y Mi\'ercoles 30 de marzo de 2005\\ Facultad de Matem\'aticas y Estad\'{\i}stica, UPC\\ Aula: Seminario 1 \end{center} \bigskip \begin{center} PROGRAMA Y RES\'UMENES \end{center} {\bf Martes 29 de marzo} \begin{itemize} \item 15:30. Juan J. Morales-Ruiz. \emph{El problema de la integrabilidad en Sistemas Din\'amicos} \medskip {\bf Resumen.} En esta presentaci\'on se pretende dar una idea de conjunto, pero sin entrar en detalles, sobre las diversas nociones de integrabilidad, asociadas a nombres de matem\'aticos tan ilustres como Liouville, Galois-Picard-Vessiot, Lie, Darboux, Kowalevskaya, Painlev\'e, Poincar\'e, Kolchin, Lax, etc. Adem\'as tambi\'en mencionaremos la revoluci\'on que supuso en los a\~nos sesenta del siglo pasado el descubrimiento de Gardner, Green, Kruskal y Miura sobre un nuevo m\'etodo para resolver en algunos casos determinadas ecuaciones en derivadas parciales. \medskip \item 16:00. David G\'omez-Ullate. \emph{Superintegrabilidad, pares de Lax y modelos de $N-$cuerpos en el plano} \medskip {\bf Resumen.} Introduciremos algunas t\'ecnicas cl\'asicas para construir modelos de N-cuerpos integrables, como los pares de Lax o la din\'amica de los ceros de un polinomio. Revisaremos la noci\'on de integrabilidad Liouville y superintegrabilidad, y discutiremos un nuevo m\'etodo debido a F. Calogero para contruir modelos de N-cuerpos en el plano con muchas \'orbitas peri\'odicas. La exposici\'on se acompa\~nar\'a de animaciones del movimiento de los cuerpos, y se plantear\'an algunos problemas abiertos. \medskip \item 17:00. Pausa \medskip \item 17:30. Yuri Fedorov. \emph{An\'alisis de Kovalevskaya--Painlev\'e y Sistemas Algebraicamente Integrables} \medskip {\bf Resumen.} Muchos sistemas integrables poseen una propiedad remarcable: todas sus soluciones son funciones meromorfas del tiempo como una variable compleja. Tal comportamiento, que se refiere como propiedad de Kovalevskaya-Painleve (KP) y que se usa frecuentemente como una ensayo de integrabilidad, no es accidental y tiene unas ra\'{\i}ces geom\'etricas profundas. En esta charla describiremos una clase de tales sistemas (conocidos como los sistemas algebraicamente integrables) y subrayaremos sus propiedades geom\'etricas principales que permiten predecir la estructura de las soluciones complejas y adem\'as encontrarlas expl\'{\i}citamente. Eso lo ilustraremos con algunos sistemas de la mec\'anica cl\'asica. Tambi\'en mencionaremos unas generalizaciones \'utiles de la noci\'on de integrabilidad algebraica y de la propiedad KP. \end{itemize} \medskip {\bf Mi\'ercoles 30 de marzo} \begin{itemize} \item 15:30. Rafael Ram\'{\i}rez-Ros. \emph{El m\'etodo de Poincar\'e} \medskip {\bf Resumen.} Dado un sistema Hamiltoniano aut\'onomo cercano a completamente integrable Poincar\'e prob\'o que, en general, no existe ninguna integral primera adicional uniforme en el par\'ametro de perturbaci\'on salvo el propio Hamiltoniano. Esbozaremos las ideas principales del m\'etodo de prueba y comentaremos algunas extensiones y generalizaciones. \newpage \item 16:30. Chara Pantazi. \emph{El M\'etodo de Darboux} \medskip {\bf Resumen.} Darboux, en 1878, present\'o su m\'etodo para construir integrales primeras de campos vectoriales polinomiales utilizando sus curvas invariantes algebraicas. En esta exposici\'on presentaremos algunas extensiones del m\'etodo cl\'asico de Darboux y tambi\'en algunas aplicaciones. \medskip \item 17:30. Pausa \medskip \item 18:00. Juan J. Morales-Ruiz. \emph{M\'etodos recientes para detectar la no integrabilidad} \medskip {\bf Resumen.} En 1982 Ziglin utiliza la estructura de la ecuaci\'on en variaciones de Poincar\'e (sobre una curva integral particular) como una herramienta fundamental para detectar la no integrabilidad de un sistema Hamiltoniano. En esta charla se pretende dar una idea de esta aproximaci\'on a la no integrabilidad, junto con t\'ecnicas m\'as recientes que involucran la teor\'{\i}a de Galois de ecuaciones diferenciales lineales, haciendo \'enfasis en los ejemplos m\'as que en la teor\'{\i}a general. Ilustraremos estos m\'etodos con resultados sobre la no integrabilidad de algunos problemas de $N$ cuerpos en Mec\'anica Celeste. \end{itemize}

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