Projecte de recerca elaborat a partir d’una estada a la Center for European Integration de la Freie Universität Berlin, Alemania, entre 2007 i 2009. El tema central del projecte consisteix en la descripció matemàtica de processos espai-temporals mitjançant la teoria dels Continuous-Time Random Walks. L'aportació més significativa del nostre treball en aquest camp consisteix en considerar per primera vegada la interacció entre diversos processos actuant de manera acoblada, ja que fins ara els models existents es limitaven a l'estudi de processos individuals o independents. Aquesta idea fa possible, per exemple, plantejar un sistema de transport en l'espai i a la vegada un procés de reacció (una reacció química, per exemple), i estudiar estadísticament com cada un pot alterar el comportament de l'altre. Això suposa un salt qualitatiu important en la descripció de processos de reacció-dispersió, ja que els nostres models permeten incorporar patrons de dispersió i comportaments temporals (cicles de vida) força realistes en comparació amb els models convencionals. Per tal de completar aquest treball teòric ha estat necessari també desenvolupar algunes eines numèriques (models de xarxa) per facilitar la implementació dels models. En la vessant pràctica, hem aplicat aquestes idees al cas de la dinàmica entre virus i el sistema immunològic que té lloc quan es produeix una infecció a l'organisme. Diferents estudis experimentals portats a terme els últims anys mostren com la resposta immunològica dels organismes superiors presenta una dinàmica temporal força complexa (per exemple, en el cas de la resposta programada). Per aquest motiu, les nostres tècniques matemàtiques són d'especial utilitat per a l'anàlisi d'aquests sistemes. Finalment, altres possibles aplicacions dels models, com ara l'estudi d'invasions biològiques, també han estat considerades.

Report for the scientific sojourn at the Center for European Integration of the Freie Universität Berlin’s School of Mathematics, Germany, from 2007 to 2009.The main aim of the current project is the mathematical description of spatio-temporal processes by using the Continuous-Time Random Walk formalism. Our main contribution to this field consists of taking into account for the first time the interplay between different coupled processes, in comparison with existing models where only independent processes had been considered. It allows us, for example, to implement transport dispersal in space plus a reaction process (let us say, a chemical reaction), and study how each process can be modified by the other one. This represents an important advance in the field of reaction-dispersal processes, since we can consider from our approach more realistic spatial and temporal (life cycle) patterns than in classical models. In order to complete this work, we have also developed some numerical tools (lattice models) which have facilitated the efficient implementation of these processes. We have used these ideas to study the dynamics between viruses and the immune system in the case of a viral infection. In the last years, experimental studies have shown that the immune response in complex organisms follows quite complicated temporal patterns (for instance, in the case of the programmed response). For this reason, our mathematical approach is of special interest for the analysis of those situations. Finally, some other potential applications of our models, as the case of biological invasions, have been studied.