English: The motivation for developing structure-preserving algorithms came independently from different areas of research such as astronomy, molecular dynamics, mechanics, theoretical physics, and numerical analysis as well as from other areas of both applied and pure mathematics. It results that the preservation of geometric properties of the flow not only produces an improved qualitative behavior, but also permits more accurate long time integration than with general-purpose methods. Non-linear differential equations can exhibit very complicated behavior over extended time intervals and even the fundamental questions of existence, uniqueness, and extendability of solutions are non-solved issues. Nowadays, impact algorithms do not provide global solutions. Their implementation involves complex problems, such as a wide casuistry range and a non-assured stability when non-linear differential equations are treated. Then, the geometric numerical integration is an interesting way to tackle the issue owing to the fact that the invariants preservation of the system permits to check the goodness of the integration. The main objective of this work has been to present some time integration algorithms for conservative particle systems with constraints. These algorithms are inspired by the ones applied in rigid body contacts using finite-element methods. In addition, we have proposed a simplification for complex geometries. The integration schemes used have been the Forward Euler, the Backward Euler, the Symplectic Euler, the Trapezoidal Rule, the Midpoint Euler and the Energymomentum conserving method. All these schemes have been adapted to reproduce the Karush-Kuhn-Tucker conditions using different methods, specifically the regular penalty method, the Lagrange multipliers method and their respective adaptation to energy conserving schemes. To resolve time-stepping problems when complex geometries are faced we have proposed for the Lagrange multipliers method an average reaction force based on the decomposition of the reaction force in a covariant and contravariant basis that corresponds to the violated surfaces.

Català: El motiu per desenvolupar algorismes que preservin l’estructura, prové independentment de diferents àrees de recerca com l’astronomia, la dinàmica molecular, la mecànica, la física teòrica, l’anàlisi numèric i, tanmateix, d’altres àrees tant de matemàtiques teòriques com aplicades. Resulta que la preservació de les propietat geomètriques del flux, no tan sols produeix un comportament qualitatiu millorat, sinó que també permet una integració a llarg plaç molt més precisa que amb el codis més generalistes. Les equacions diferencials no lineals poden manifestar comportaments molt complicats al llarg d’intervals de temps extensos i, fins i tot, les qüestions més fonamentals com l’existència i la unicitat de solucions són temes no solucionats. Actualment, els algorismes d’impacte per equacions diferencials no lineals, no ofereixen solucions globals. La seva implementació comporta problemes complexes, com una gran casuística de situacions i grans problemes amb l’estabilitat de la solució. Per tot el que s’ha mencionat, creiem que la integració numèrica des d’un punt de vista geomètric és una manera interessant d’abordar el tema donat que la preservació d’invariants és un bon punt de control. L’objectiu principal del treball ha estat presentar algorismes d’integració per a sistemes de partícules conservatius i amb restriccions. Els algorismes proposats s’inspiren dels provinents de cossos rígids utilitzant el mètode dels elements finits. Finalment, s’ha proposat una simplificació per geometries complexes. Els esquemes d’integració utilitzats han estat el Backward Euler, el Symplectic Euler, el Trapezoidal Rule, el Midpoint Euler I l’ Energy-momentum conserving method. Tots aquests esquemes s’han adaptat per reproduir les condicions de Karush-Kuhn-Tucker utilitzant diferents mètodes. En concret, el regular penalty method, el Lagrange multipliers method i les seves repectives adaptacions als esquemes conservatius. Per a resoldre el problemes de pas de temps que sorgeixen a l’hora de treballar amb geometries de contorn complexes, s’ha proposat un mètode per els multiplicadors de Lagrange que consisteix en trobar un promig de la força de reacció de l’impacte a partir de la descomposició d’aquesta en la base covariant y contravariant que formen les superfícies de contorn.