English: In this final year project a software to study the topological and dynamic properties of graphs is developed. In addition to determine the properties of graphs such as order, diameter, average distance or clustering, this software enables dynamic simulations to study random walks and coherence. The program developed has been used to study two specific problems: Firstly, it has been studied the behaviour of a group of agents moving in a network and subjected to simple rules in order to determine how the topology of the network affects the achievement of a consistent behaviour. Previous results in ?classical? networks (complete graph, hypercube, cycles, etc.) show that with a simple rule (keep on changing until you find two agents like you) it can be achieved the overall coherence of all agents. In this paper, small-world, scale-free and fractal networks have been considered. On the other hand, it has also been addressed the problem of mean first passage time (MFPT) in the same type of networks, in particular examining the differences between fractal and non fractal networks. The study of these dynamic properties is important due to the fact that many real networks (Internet, WWW, transport systems, etc.) are part of the types considered in the project. Moreover, issues related to coherence and MFPT (e.g. synchronization) are essential for an efficient operation of the networks.

Castellano: En este proyecto final de carrera se desarrolla un software para estudiar las propiedades topológicas y dinámicas de grafos. Este software, a parte de determinar propiedades de los grafos como el orden, el diámetro, la distancia media, el clustering, etc., permite realizar simulaciones dinámicas para estudiar paseos aleatorios y coherencia. El programa desarrollado se ha utilizado para el estudio de dos problemas concretos: Por una parte, se ha estudiado el comportamiento de un conjunto de agentes moviéndose en una red y sometidos a reglas simples con el objetivo de determinar cómo afecta la topología de la red a la consecución de un comportamiento coherente. Resultados previos en redes clásicas(grafo completo, hipercubo, ciclos, etc.) muestran que una regla muy simple (cambia hasta que encuentres dos agentes como tú) permite conseguir la coherencia global de todos los agentes. En este trabajo se han considerado redes pequeño mundo, invariantes de escala y fractales. Por otra parte, también se ha tratado el problema del tiempo de primer paso (mean first passage time, MFPT) en el mismo tipo de redes, estudiando en particular las diferencias entre redes fractales y no fractales. El estudio de estas propiedades dinámicas es importante ya que muchas redes reales (Internet, WWW, redes eléctricas, sistemas de transporte, etc.) son de los tipos considerados, y cuestiones relacionadas con la coherencia y el MFPT (como por ejemplo la sincronización) son básicas para un funcionamiento eficiente de las redes.

Català: En aquest projecte final de carrera es desenvolupa un programari per a l'estudi de propietats topològiques i dinàmiques de grafs. Aquest programari, a més de determinar propietats dels grafs com l'ordre, la mida, el diàmetre, la distància mitjana, el clustering, etc., permet fer simulacions dinàmiques per a l'estudi de passeigs aleatoris i coherència. El programa desenvolupat s'ha utilitzat per a l'estudi de dos problemes concrets: D'una banda, s'ha estudiat el comportament d'un conjunt d'agents movent-se en una xarxa sotmesos a regles simples amb l'objectiu de determinar com afecta la topologia de la xarxa a l'assoliment d'un comportament coherent. Resultats previs en xarxes clàssiques (graf complet, hipercub, cicles, etc.) mostren que una regla molt simple (canvia fins que trobis dos agents com tu) permet aconseguir la coherència global de tots els agents. En aquest treball s'han considerat xarxes petit món, invariants d'escala i fractals. D'altra banda, també s'ha tractat el problema del temps de primer pas (mean first passage time, MFPT) en el mateix tipus de xarxes, estudiant en particular les diferències entre xarxes fractals i no fractals. L'estudi d'aquestes propietats dinàmiques és important, ja que moltes xarxes reals (Internet, WWW, xarxes elèctriques, sistemes de transport, etc.) són dels tipus considerats i qüestions relacionades amb la coherència i el MFPT (com per exemple la sincronització) són bàsiques per a un funcionament eficient de la xarxa.